CS-MEDIUM-02 浮点数 ​

说明 ​

本题目旨在帮助大家理解浮点数在计算机中的表示原理，推荐阅读《深入理解计算机系统》(CSAPP) 第 2.4 节 "浮点数"

Step 1.认识浮点数 ​

请编写并运行如下代码，观察输出结果：

#include <stdio.h>
int main() {
    float a = 0.1;
    printf("%.20f\n", a);
    return 0;
}

#include <stdio.h>
int main() {
    float a = 0.1;
    printf("%.20f\n", a);
    return 0;
}

在数学上，0.1 就是 0.100000...，所以你可能预期会输出 0.10000000000000000000。

但实际运行，你却会看到一个略微不同的值。

首先我们知道计算机底层使用二进制表示所有数据，包括浮点数。但并不是所有的十进制小数都能被二进制精确表示。

所以你能解释为什么 0.1 并没有被精确表示出来吗？

误差的根本原因，还与浮点数的存储结构有关。根据 IEEE 754 浮点数标准，一个浮点数由三部分构成：

符号位（sign）：1 位，决定正负。

阶码（exponent）：表示数量级，类似科学计数法中的指数部分。

尾数（significand）：表示有效数字部分。

例如，$-1.234 \times 10^5$ 在浮点存储中会被拆分成：

• 符号位：1（负数）
• 阶码：5（会加偏置存储）
• 尾数：1.234（存储时去掉首位 1 只保留小数部分）

请查阅相关资料并回答：

在 IEEE 754 标准中，float 与 double 分别使用多少位来表示这三部分？

在存储阶码时，IEEE 754 并不直接保存正负值，而是把它加上一个**偏置（Bias）**后存为无符号整数。

例如：在一个float类型中，若阶码实际值为5，但在计算机中存储的却是：$5+127 = 133$

请回答：偏置值是如何计算的？这样做的意义是什么？

当浮点数表示的数值非常接近 0 时，规格化表示的阶码已经到最小了，不能再减。这时会用非规格化数

请查阅相关资料并回答：

非规格化数的特点是什么？

此外，还有两个特殊阶码模式：

1. 阶码全为 1 且尾数全为 0
2. 阶码全为 1 且尾数非 0

回答这两个特殊阶码模式分别指的什么？

注意：该任务仅为导读，要学习浮点数请阅读相关书籍或观看相关视频。

要求：在markdown中回答上述中出现的问题

Step 2.表示浮点数 ​

假设一个基于IEEE浮点格式的8位浮点表示，有1个符号位、 4个阶码位(k=4)和3个小数位(n=3)。阶码偏置值是$2^{4-1}-1 = 7$。下表中列举了这个8位浮点表示的部分非负取值。使用下面的条件，填写表格中的空白项：

e: 假定阶码字段是一个无符号整数所表示的值。

E: 偏置之后的阶码值。

$2^E$: 阶码的权重。

f: 小数值。

M: 尾数的值。

$2^E \times M$: 该数小数值（无需化为最简）。

十进制：该数的十进制表示（不超过六位小数）。

注意：$2^E$、f、M、$2^E \times M$的值，要么是整数（如果可能的话），要么是形如$\frac{x}{y}$的小数，这里y是2的幂。标注为“—”的条目不用填。

思考：

• 在该8位浮点表示中，最小的非规格化数、最大的非规格化数、最小的规格化数、最大的规格化数、无穷大的位表示分别是什么？
• 对于非规格化形式，阶码值为什么是$1 - Bias$而不是简单的$-Bias$？

提交方式：于markdown中提交完整的表格,并回答思考题。

Step 3 ​

要求：仿照IEEE 754 标准，实现一个C程序，要求输入5位浮点字符串，输出对应的十进制值。

其中5位浮点数格式如下：

• 符号位：0表示正数，1表示负数
• 阶码：2位
• 尾数：2位
• 偏置值：$2^{2-1}-1 = 1$

输入输出示例：

提交方式：于markdown中提交相关代码和运行截图。

Step 4.浮点数的简单运算 ​

相信在完成上述任务之后你对浮点数已经有了比较深刻的认识，现在让我们来看看浮点数的加减法是如何实现的。

浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

1.对阶

所谓对阶是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作。类比平常我们用到的带阶数的加减法，对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算。在对阶的过程中有两种方式，大阶向小阶看齐，小阶向大阶看齐。但实际上我们是用小阶向大阶看齐的方式。请思考其中的原因。

2.尾数运算

尾数运算就是进行完成对阶后的尾数相加减。

3.规格化

对于IEEE754标准的浮点数来说，由于在进行上述两个定点小数的尾数相加减运算后，尾数有可能是非规格化形式，为此必须进行规格化操作。规格化操作包括左规和右规两种情况。

左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式。例如，浮点数0.001111是非规格化的形式，需进行左规操作，将其尾数左移3位，同时阶码减3，就变成1.110000规格化形式了。

右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。要注意的是，右规操作只需将尾数右移一位即可，这种情况出现在尾数的最高位（小数点前一位）运算时出现了进位，使尾数成为10.xxxx或11.xxxx的形式。例如，10.001100右规一位后便成为1.0001100的规格化形式了。

4.舍入处理

浮点运算在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理。IEEE754标准列出了四种可选的舍入处理方法，这里请自行查阅不详细列出。

5.溢出判断

与定点数运算不同的是，浮点数的溢出是以其运算结果的阶码的值是否产生溢出来判断的。若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

​

下面给出具体运算过程示例（以32位系统为例）：

float a = 0.3; b = 1.6;

a = 0011 1110 1001 1001 1001 1001 1001 1010 Sa=0 Ea=011 1110 1 Ma=1.001 1001 1001 1001 1001 1010

b = 0011 1111 1100 1100 1100 1100 1100 1101 Sb=0 Eb=011 1111 1 Mb=1.100 1100 1100 1100 1100 1101

a + b= ?

第一步：对阶

∵ Ea < Eb Eb - Ea = 2

∴ Ma要调整为 0.0 1001 1001 1001 1001 1001 10 10

E = 011 1111 1

第二步：尾数运算

0.01001100110011001100110

+1.10011001100110011001101

1.11100110011001100110011

第三步：规格化

1.11100110011001100110011已经是个规格化数据了

第四步：舍入处理

由于在对阶时，Ma有右移，且第一次最高为1，第二次为0，所以按"0舍1入"，尾数运算结果调整为 1.11100110011001100110100

第五步：溢出判断

没有溢出，阶码不调整，所以最后的结果为

a+b = 0 01111111 11100110011001100110100 = 0011 1111 1111 0011 0011 0011 0011 0100

转为10进制

a+b = 1.90000010

按照任务二的八位浮点系统，请设计一个c程序，要求为输入两个八位二进制浮点数（中间用空格隔开），然后对两个浮点数进行加法操作，只完成对阶，尾数运算和规格化的操作，输出规格化后的二进制表达式（不考虑溢出，若需进行舍入采取向零舍入）。为简化实现，本题只考虑非负的规格化数，忽略非规格化数和其它特殊情况。

输入输出示例

提交方式：于markdown中提交相关代码和运行截图。

本题提交方式 ​

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出题人联系方式 ​

逐影 QQ：1329007256